芝诺悖论的评价[1]

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芝诺悖论

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什么是芝诺悖论

芝诺悖论是古希腊数学家埃利亚的芝诺提出的关于运动不可分割性的一系列哲学悖论。这些悖论之所以为后人所知，是因为它们被记录在亚里士多德的《物理学》中。芝诺提出这些悖论是为了支持他的老师巴门尼德的理论，即“存在”是不动的，是一体的。他的悖论在亚里士多德的《物理学》中概括为以下四种：二分法、阿喀琉斯、飞箭和运动场。其中最著名的两个悖论是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞箭不能移动”。现在可以用微积分（无穷大）的概念来解释这些方法。

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芝诺悖论的内容

(一）二分悖论

悖论：一个物体在到达目的地之前必须行进到目的地的一半。这个要求可以无限期地持续下去，所以如果它开始了，它就永远不会结束，或者根本就不会开始。

示例：旅行者步行到特定位置。他必须先走一半的距离，然后走剩下的一半，再走一半的距离比特币可以无限分割，并且总是有剩下的一半要走。所以旅行者永远不会到达目的地！

(二）阿喀琉斯悖论

悖论：如果慢跑者比快跑者领先一步，那么快跑者永远追不上慢跑者，因为追赶者必须先跑到被追赶者的起点，而当他到达终点时被追赶，慢跑者永远追不上慢跑者。又向前迈了一步，新的起点等待着它，无数这样的起点。

故事：阿喀琉斯和乌龟之间的比赛开始了。乌龟开始比阿喀琉斯先爬1000米，但是阿喀琉斯跑的比乌龟快10倍，比赛开始了，当阿喀琉斯跑1000米时，乌龟还在他前面100米。当阿喀琉斯又跑了 100 米到达乌龟所在的地方时，乌龟又爬了 10 米。芝诺争辩说，阿喀琉斯会继续逼近乌龟，但他永远无法抓住它。

(三）飞箭悖论

悖论：任何事物在占据与自身相等的位置时都是静态的，而飞箭在任何时刻总是占据与自身相等的位置，所以它也是静态的。

说明：箭在运动过程中的任何瞬间都必须处于一定的位置，即静止，而时间是由无穷多个瞬间组成的，所以箭不能移动。

(四）游乐场悖论

悖论：两列物体 B 和 C 相对于一列静止物体 A 相互靠近，B 穿过 A 的次数是穿过 C 次数的一半，所以一半的时间等于两倍的时间。

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芝诺悖论回顾

总的来说，芝诺悖论的历史是连续性、无限性和无限性概念的历史，”数学历史学家 F. Cajori 说。不幸的是，芝诺的作品没有通过他对亚里士多德的批评者和他的评论员辛普利西奥斯，我们得到了芝诺悖论的要旨。

直到 19 世纪中叶，亚里士多德对芝诺悖论的引用和批评几乎没有说服力，普遍的共识是芝诺的悖论只不过是有趣的谬论。英国数学家B.罗素感慨道：“在这个善变的世界里，没有什么比死后的名誉更善变的了。”死后没有得到应有评价的最引人注目的受害者是埃利娅的芝诺。虽然他发明了四个无限微妙、无限深奥的悖论，但后世的大量哲学家都声称他只是一个聪明的骗子，他的悖论只是一些诡辩。

柏拉图在他的《巴门尼德》中叙述了芝诺和巴门尼德在公元前 5 世纪中叶对雅典的访问。上面写着：“巴门尼德年纪很大，大约65岁，头发花白，但他很英俊。芝诺那时大约40岁，高大美丽。”而在书中，他描述了芝诺的观点。据说芝诺正在捍卫巴门尼德的“本体论”。但与他的老师试图从正面证明存在是“一”而不是“多”、“静止”而不是“运动”不同，他经常用还原的方法从反面证明：“如果有很多事情，都会有比‘一’假设更荒谬的结果。”同样，他巧妙地提出了一些关于运动的论点。他的这些论点就是所谓的“芝诺悖论”。芝诺有一本关于自然的书。在柏拉图的《巴门尼德》中，芝诺谈到自己的写作时说：“因为青春的侵略性，所以写了这个，写完之后，人们会偷走它，所以我无法决定是否应该写。可用。”

5 世纪的批评家普罗克洛斯在他对这段话的评论中写道，芝诺从“许多”和运动的假设中推导出了总共 40 个不同的悖论。芝诺的著作早已失传。亚里士多德的《物理学》和辛普利西奥斯对《物理学》的评论是理解芝诺悖论的主要来源，还有一些零星的片段。提供支持证据。至少存在八个芝诺悖论，其中最著名的是运动的四个悖论。

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芝诺悖论的分析与研究

正如亚里士多德所说，阿喀琉斯追海龟的理论其实可以概括为二分法。根据二分法，阿喀琉斯必须经过1/2的距离才能到达乌龟的起点。因此，他必须旅行 1/4、1/8 等，也就是说，他必须在有限的时间内穿越无限的时间点比特币可以无限分割，阿喀琉斯根本无法移动，这是芝诺的推理。

芝诺悖论揭示了事物内部的密度和连续性之间的差异，无限可分性和有限长度之间的矛盾，这是亚里士多德未能察觉的，当然事实上没有什么可以反驳芝诺。 P. Tannery 在 1885 年指出，芝诺的悖论与空间是点的总和而时间是矩的总和的观念相反。也就是说，芝诺并没有否认运动，而是想证明在空间作为点的总和的概念下，运动是不可能的。

芝诺的类似观点体现在他对“许多”的两个悖论中。其中之一出现在失落的芝诺原作的以下片段中：

如果有很多东西，它必须与实际存在的东西相对应，不多也不少。但是，如果有这么多东西，那么东西就是有限的（在数量上）。如果有许多事物，则众生（数量）是无限的。因为在事物之间总是有别的东西，在这些事物之间也有别的东西。这样，存在就是无限的。

芝诺关于“多”的存在导致无穷大的论点也体现在另一个悖论中。辛普利西奥斯（Simplicios）至少部分地逐字记录了它。这些叙述并没有被后来的人或多或少地修改过，比如追海龟和飞箭。虽然不是那么清楚，但更接近芝诺的原话。在他的介绍中，辛普利西奥斯说芝诺首先认为不可能有任何东西既没有“大小”也没有厚度。 “如果是这样，它不能加到某物上使它变大，也不能从它中减去它来使它变小。但是如果一个东西不能通过增加它来扩大，也不能通过减少它来减少它。减少一个东西，很明显，加减的都是零。”

因此，将任意数量的这些“无”元素添加到任何事物中都不会使其变大，而从任何事物中减去它们并不会使其变小；当然，把这些“无”元素加起来，所有的元素加起来，就算有无穷多，总和也是“无”。上述悖论与前三个关于运动的悖论的共同点是假设空间、时间和物体无限可分，实际上讨论了无穷小和连续性。 Zeno 在这里还引用了以下两个假设：

i) 无限多个相等且任意小的正数之和一定是无限的；

ii) 无限数量的无大小量之和仍然是无大小量。

假设 ii) 是 Zeno 反对将线段（时间、空间）视为无限点集（无大小的无限量之和）的主要基础。因此，解决芝诺悖论的一个关键是证明假设 ii) 不成立。 A. Grünbaum 在 1952 年详细讨论了这个问题。他将仅包含一个点的子区间定义为退化子区间，然后他得出以下结论：

1)有限区间(a, b)是退化子区间连续统的并集；

2)每个退化子区间的长度为零；

3)区间(a,b)的长度为b—a；

4)区间的长度不是其基数的函数。

因此，芝诺的假设 ii) 不能成立。事实上，通过二分法无限地分割线段（或任何其他数量），不可能有最后一个元素。因为被无限分割，是一个没有最后一项就永远无法完成的过程。在取极限的意义上，根据结论1)，有限区间(a, b) 成为不可数无限退化子区间的并集。此时，虽然每个退化子区间（或每个点）的长度都是0，但是整个并集的长度不是0，而是b—a（结论3)）。因此，作为对芝诺和亚里士多德的回答，时间和距离都是线性连续统，作为无限组的无长度元素（点）。换句话说，线段是无限的点集，时间是无限的未扩展瞬间集，两者都是线性连续体。这样一来，箭头静止的悖论，最初是指在任何给定时刻静止，但在无限多个时刻的连续体上移动，现在转变为一个新的“悖论”“：无限的点集没有延伸扩展名。

这是古代文献中第一个涉及相对运动的问题，也是现存芝诺悖论中唯一与连续统问题无关的问题。但也有学者（如 P.Tonnelly 等）认为这与连续统问题有一定的联系。

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参考文献

↑芝诺悖论的意义

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